例谈数学思想方法在数列中的应用
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，一直备受高考命题者的青睐。对于很多学生来说，数列是难点内容。本文探究如何利用数学思想方法解决数列问题。
1．函数的思想方法
我们可以把数列
看成以正整数集
（或它的有限子集{1,2，……，n})为定义域的特殊函数
,这样对于很多数列问题，我们可以转化成函数问题，利用函数的概念、图象和性质求解，使得解题过程变得非常有效和快捷。
例1.设数列满足：
，求的前n项和
及使得最大的序号n的值。
分析:从数列的通项公式可以看出，为等差数列，其前n项和
，
，我们可以把看作关于n一元二次函数，利用函数的图象来求解。
解：由知：
.
则
我们可以把看作关于n的一元二次函数，
,则根据函数的图象可知：当n=5时，最大.
例2.设函数
（0<x<1),数列满足：
.
判断数列的单调性.
分析：这是一道判断数列单调性的题目，如果我们通过
的符号来判断数列的单调性，将非常困难。如果我们把
看作n的函数，将比较简便.
解：由
，得
.
则
.
又由函数
的定义域知：
，则
，
.
我们可以把
看作关于n的函数.令
，
则
，
在R上是单调递增函数.
同理 由知：是单调递增数列.
2．方程的思想方法
在等差或等比数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量
、d(或q)、n、及，这5个量中知道其中任意三个量的值，就可以应用方程的思想，解方程求出另外两个量的值.在数列解题中，我们同样可以利用方程的思想，把数列问题变成方程问题，达到化难为易的目的。
例3 设
，d 为实数，首项为，公差为d的等差数列的前n项和为，满足
.求d的取值范围.
解：由
得：（5+d)(6+15d)+15=0,
即
，把上述等式看作关于以为自变量的一元二次方程，由于，d 为实数，则
即
，故
或
.
即d的取值范围为
3．分类讨论的思想方法
在等比数列求和中经常对公比q=1和
进行分类.在数列中已知前n项和
的表达式，求的表达式时，要按n=1和
分类讨论.有的数列的通项公式是以分段函数的形式给出的，或以
形式给出的，也要分类求解。
例4 已知数列的前n项和为,且
.数列
满足
.且
.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设
是否存在
，使得
成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
分析：在第一问中，求数列的通项公式，要按照n=1和进行分类，在第二问中，
的通项公式，要按n是奇数和偶数进行讨论。解：⑴当
时，
．
当
时， 
．
而当
时， 
∴
又
即
，
∴
是等差数列，又
，
，解得
．
∴
． 
（2）
i)当
为奇数时，
为偶数，
∴
，
．
ii)当
为偶数时，
为奇数，
∴
，
（舍去）．
综上，存在唯一正整数
，使得成立．
4． 转化、化归的思想方法
在很多数列的题目中，往往给出的是递推数列，我们往往需要把它们转化成基本数列即等差等比数列来求解.
例5.已知数列 满足：
，
，求数列的通项公式.
分析：如果这个题目我们直接求解，将非常困难，无从下手。如果我们使用转化、化归的思想方法把它转化成等差数列求解，将大大降低难度。
解：对等式两边取倒数得：
，
即
，故
是1为首项，以
为公差的等差数列，
由等差数列的通项公式得：
即
.
总之，解题要善于应用和总结数学基本思想和基本方法，使得很多数学问题变得简单，有趣，有捷径可循，提高学生的学习兴趣，养成良好的学习习惯，达到事半功倍的效果。
