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浙江省温州市“十五校联合体高二下学期期末联考数学试题

2018年01月11日 08:52:32 访问量:134326

2016学年第二学期温州十五校联合体期末联考

高二年级数学学科试题

一、选择题:本大题共10个小题,每小题4,40.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,则(   )

A.         B.      C.      D.

2.在复平面内,复数是虚数单位)所对应的点位于(   )

A.第一象限         B.第二象限      C.第三象限     D.第四象限

3.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为,则(    )

A.  6       B.       C.4      D. 2

4.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的表面积是(    )

A.        B.       C.       D.5

5.已知,则实数的值为(    )

A. 15        B.20       C. 40        D.60

6.已知直线,则“”是“”的(    )

A.充分不必要条件         B.必要不充分条件      

C.充要条件                D.既不充分也不必要条件

7.已知是等差数列,其公差为非零常数,前项和为,设数列的前项和为,当且仅当时,有最大值,则的取值范围是(     )

A.         B.       C.          D.

8. 满足约束条件,若取得最大值的最优解不唯一,则实数的值为(   )

A.         B.2或       C. 2或1        D.2或-1

9.已知函数为常数,)在处取得最小值,则函数是(    )

A.偶函数且它的图像关于点对称        

B.奇函数且它的图像关于点对称      

C. 奇函数且它的图像关于点对称       

D.偶函数且它的图像关于点对称

10.已知,则的最小值为(     )

A. 5        B.  10     C.15         D.20

二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,满分36分,将答案填在答题纸上)

11. 中,内角所对的边分别为,且,则的大小为         

12.过点且斜率为1的直线与双曲线的两渐近线交于点,且,则直线的方程为          ;如果双曲线的焦距为,则的值为         

13.王先生家住小区,他工作在科技园区,从家开车到公司上班路上有两条路线(如图),路线上有三个路口,各路口遇到红灯的概率均为路线上有两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,若走路线,王先生最多遇到1次红灯的概率为          ;若走路线,王先生遇到红灯次数的数学期望为         

14.用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数,要求数字1,3不相邻,数字2,5相邻,则这样的五位数的个数是          (用数字作答)

15.已知坐标平面上的凸四边形满足,则凸四边形的面积为          的取值范围是         

16.函数的对称中心为          ,如果函数的图像经过四个象限,则实数的取值范围是         

17.在正四面体中,点是棱的中点,点是线段上一动点,且,设异面直线所成角为,当时,则的取值范围是         

三、解答题 (本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

18. 已知函数的周期为.

(1)的值;

2)求函数上的值域.

19. 已知菱形中,对角线相交于一点,将沿着折起得,连接.

(1)求证:平面平面

2)若点在平面上的投影恰好是的重心,求直线与底面所成角的正弦值.

20. 已知函数.

(1)求函数的最小值;

2)如果不等式在区间上恒成立,求的最大值.

21. 如图,已知抛物线,直线与抛物线相交于两点,且当倾斜角为的直线经过抛物线的焦点时,有.

(1)       求抛物线的方程;

(2)已知圆,是否存在倾斜角不为的直线,使得线段被圆截成三等分?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

22.已知数列满足,且.

(1)求

2猜想的通项公式,并证明你的结论;

3)证明:对所有的.

 

 

 

 

 

试卷答案

一、选择题

1-5: ABCCD      6-10:ACDBA   

二、填空题

11.       12.      13.          14. 24          15.          

16.      17.

三、解答题

18.(1)因为

且函数的最小正周期为,故

2)因为,当时,有

故函数上的值域为.

19.(1)因为,所以平面,又因为平面,所以平面平面

2)方法一:设在平面上的投影为,即平面

过点于点,过点于点

连结,并过于点

因为平面,即,且有

,所以平面,即

又因为,且,故平面

从而知与底面所成的角,

,则在中有,所以,故与底面所成角的正弦值为,即与底面所成角的正弦值为.

(2)方法二:如图建系

,则知

,平面的法向量为

与底面所成角的正弦值为.

20.(1)函数的定义域为,因为,所以当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.

因此,函数的最小值为.

(2)不等式在区间上恒成立等价于,令,则,由于时,,函数单调递增且,所以函数有且只有一个零点,因为,所以,因此,当时,;当时,,从而函数上分别是减函数、增函数,

因此

所以,由,因此,且,所以.

21.(1)当倾斜角为的直线经过抛物线的焦点时,直线的方程为

∵联立方程组,即

,即∴抛物线的方程是

2)假设存在直线,使得线段被圆截成三等分,令直线交圆,设直线的方程为,由题意知:线段与线段的中点重合且有,联立方程组,即

∴线段中点的坐标为,即线段的中点为

,即

又∵

,即,∴

故直线的方程为.

22.(1)因为,且

,得到解得;同理令分别解得由此可得

2)证明:猜测

用数学归纳法证明:①当时,由上可得结论成立.

②假设当时,结论成立,即

那么当时,

,所以当时,结论也成立.

由①②,可知对一切正整数都成立.

(3)由(2)知,

于是所证明的不等式即为

(ⅰ)先证明:

因为,所以,从而

,所以

(ⅱ)再证明

设函数,则.

因为在区间为增函数,

所以当时,

从而在区间上为单调递减函数,

因此对于一切都成立,因为当时,

所以

综上所述,对所有的,均有成立.

 

 

 

编辑:老申
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