2016学年第二学期温州十五校联合体期末联考
高二年级数学学科试题
一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,
,则
( )
A. B.
C.
D.
2.在复平面内,复数(
是虚数单位)所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知焦点在轴上的椭圆
的离心率为
,则
( )
A. 6 B. C.4 D. 2
4.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的表面积是( )
A. B.
C.
D.5
5.已知,则实数
的值为( )
A. 15 B.20 C. 40 D.60
6.已知直线,
,则“
”是“
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知是等差数列,其公差为非零常数
,前
项和为
,设数列
的前
项和为
,当且仅当
时,
有最大值,则
的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
8. 满足约束条件
,若
取得最大值的最优解不唯一,则实数
的值为( )
A.或
B.2或
C. 2或1 D.2或-1
9.已知函数(
为常数,
,
)在
处取得最小值,则函数
是( )
A.偶函数且它的图像关于点对称
B.奇函数且它的图像关于点对称
C. 奇函数且它的图像关于点对称
D.偶函数且它的图像关于点对称
10.已知且
,
,
,则
的最小值为( )
A. 5 B. 10 C.15 D.20
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,满分36分,将答案填在答题纸上)
11. 中,内角
所对的边分别为
,且
,则
的大小为 .
12.过点且斜率为1的直线
与双曲线
的两渐近线交于点
,且
,则直线
的方程为 ;如果双曲线的焦距为
,则
的值为 .
13.王先生家住小区,他工作在
科技园区,从家开车到公司上班路上有
两条路线(如图),
路线上有
三个路口,各路口遇到红灯的概率均为
;
路线上有
两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为
,若走
路线,王先生最多遇到1次红灯的概率为 ;若走
路线,王先生遇到红灯次数
的数学期望为 .
14.用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数,要求数字1,3不相邻,数字2,5相邻,则这样的五位数的个数是 .(用数字作答)
15.已知坐标平面上的凸四边形满足
,
,则凸四边形
的面积为 ;
的取值范围是 .
16.函数的对称中心为 ,如果函数
的图像经过四个象限,则实数
的取值范围是 .
17.在正四面体中,点
是棱
的中点,点
是线段
上一动点,且
,设异面直线
与
所成角为
,当
时,则
的取值范围是 .
三、解答题 (本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
18. 已知函数的周期为
.
(1)求的值;
(2)求函数在
上的值域.
19. 已知菱形中,对角线
与
相交于一点
,
,将
沿着
折起得
,连接
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若点在平面
上的投影恰好是
的重心,求直线
与底面
所成角的正弦值.
20. 已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)如果不等式在区间
上恒成立,求
的最大值.
21. 如图,已知抛物线,直线
与抛物线
相交于
两点,且当倾斜角为
的直线
经过抛物线
的焦点
时,有
.
(1) 求抛物线的方程;
(2)已知圆,是否存在倾斜角不为
的直线
,使得线段
被圆
截成三等分?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
22.已知数列,
满足
,
,且
,
.
(1)求及
;
(2)猜想,
的通项公式,并证明你的结论;
(3)证明:对所有的,
.
试卷答案
一、选择题
1-5: ABCCD 6-10:ACDBA
二、填空题
11. 12.
13.
14. 24 15.
16. 17.
三、解答题
18.(1)因为,
且函数的最小正周期为
,故
;
(2)因为,当
时,有
,
故函数在
上的值域为
.
19.(1)因为,
,
,所以
平面
,又因为
平面
,所以平面
平面
;
(2)方法一:设在平面
上的投影为
,即
平面
,
过点作
交
于点
,过点
作
于点
,
连结,并过
作
于点
,
因为平面
,即
,且有
,
,所以
平面
,即
,
又因为,且
,故
平面
,
从而知是
与底面
所成的角,
设,则在
中有
,
,所以
,故
与底面
所成角的正弦值为
,即
与底面
所成角的正弦值为
.
(2)方法二:如图建系,
令,则知
,
,
,
,
即,平面
的法向量为
,
故与底面
所成角的正弦值为
.
20.(1)函数的定义域为,因为
,所以当
时,
,函数
单调递减;当
时,
,函数
单调递增.
因此,函数的最小值为
.
(2)不等式在区间
上恒成立等价于
,令
,则
,由于
时,
,函数
单调递增且
,所以函数
有且只有一个零点
,因为
,
,所以
,因此,当
时,
,
;当
时,
,
,从而函数
在
,
上分别是减函数、增函数,
因此,
所以,由得
,因此
,且
,所以
.
21.(1)当倾斜角为的直线
经过抛物线
的焦点
时,直线
的方程为
,
∵联立方程组,即
,
∴,即
,∴抛物线
的方程是
;
(2)假设存在直线,使得线段
被圆
截成三等分,令直线
交圆
为
,设直线
的方程为
,
,由题意知:线段
与线段
的中点重合且有
,联立方程组
,即
,
∴,
,
,
∴线段中点的坐标为
,即线段
的中点为
,
∴,即
,
又∵,
,
∴,即
,∴
,
,
故直线的方程为
.
22.(1)因为,
,且
,
令,得到
解得
,
;同理令
分别解得由此可得
,
,
,
;
(2)证明:猜测,
,
用数学归纳法证明:①当时,由上可得结论成立.
②假设当时,结论成立,即
,
,
那么当时,
,
,所以当
时,结论也成立.
由①②,可知,
对一切正整数都成立.
(3)由(2)知,,
于是所证明的不等式即为
(ⅰ)先证明:
因为,所以
,从而
,
即,所以
(ⅱ)再证明
设函数,
,则
,
.
因为在区间上
为增函数,
所以当时,
,
从而在区间
上为单调递减函数,
因此对于一切
都成立,因为当
时,
,
所以
综上所述,对所有的,均有
成立.